粒子的德布罗意波将部门地穿 过势垒
更新时间:2019-10-28   浏览次数:   

  第四章: ? §4.1 量子力学初步 薛定谔方程 德布罗意引入了和粒子相联系的波。粒子的运波 函数 ψ=ψ(r·t) 来描述,而粒子正在时辰 t 正在遍地的概率 密度为 |ψ |2 。可是,如何确定正在给定前提(给定 一势场)下的波函数呢? 4.1.1 式(4.1.1)称做薛定谔方程 量子力学中的薛定谔方程,相当于典范力学中的牛顿运 动定律,是不克不及从什么更根基的道理中推出来的。它的 准确取否,只能由科学尝试来查验。现实上,薛定谔方 程是量子力学的一个根基道理。我们能够从分歧侧面发 现薛定谔方程取典范力学概念之间的联系。 4.1.2 从形式上看,如正在典范关系式4.1.2)中做如下变换: 然后感化于波函数ψ ,就获得薛定谔方程 下面研究定态薛定谔方程 正在势能V不显含时间的问题中,薛定谔方程能够用一种 分手变数的方式求其特解, 4.1.4 代入式(4.1.1),并把坐标函数和时间函数排列于等号两边: 4.1.5 令这为E, 有 于是波函 数ψ (r,t)可 以写成 4.1.6 取粒子的波函数比力,可知上式中的 E就是能 量,具有这种形式的波函数所描述的形态称为定态.正在 定态中几率密度|ψ (r,t)|2=|ψ (r)|2取时间无关。 另一方面,式(4.1.5)左边也等于E,故有 ?2 [? ?2 ? V ] 2m ? ( r ) ? E? ( r ) 这是波函数中取坐标相关的部门ψ (r)所满脚的方程, 此方程称做定态薛定谔方程 例4.1.1 试由粒子的平面波方程给出成立薛定 谔方程的一种方式 ll (1) 对(1)x,y,z取二阶偏微商获得 (2) 等式相边相加, 即有 (3) 为拉普拉斯算符 .. 把(1)对t取一阶偏微商 若是粒子的速度较光速 小得多,它的能量公式是 p2/2m=E,两边乘以ψ ,即得 (4) (5) 把(3)和(4)代入(5) (6) 获得一个粒子的薛定 谔方程。 对于一个处正在力场中的非粒子,它的总能量等 于动能加势能 两边乘以ψ 粒子的薛定 谔方程能够按此 式推广成 (7) (8) (9) 薛定谔方程微不雅粒子的根基方程 --量子力学根基假设 地位同典范物理的牛顿定律 薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学 一维无限深势阱中的粒子 一个粒子正在两个无限高势垒之间的活动,现实上取一 个粒子正在无限深势阱中的活动属于统一类问题。设势 阱位于 x=0 及 x=a 处。势阱之间 ( 图 3.2.1 中Ⅰ区 ) , V=0 , 势阱本身(图3.2.1中Ⅱ,Ⅲ区),V=∞,求粒子正在势阱 间的活动环境。 (4.2.1) 正在Ⅱ,Ⅲ区,只能有ψ =0.由于从物 理上考虑,粒子不克不及存正在于势能为 无限大的地域,正在Ⅰ区,方程简化 图3.2.1 无限深势阱 4.2.2 4.2.3) 4.2.4) 式中,A,δ 为待定,为确定A取δ 之值,操纵ψ 的鸿沟前提及归一化前提。从物理上考虑,粒子不克不及 透过势阱,要求正在阱壁及阱外波函数为零, 即 上式舍去了n=0和n为负值的环境 (4.2.5) 这个成果表白,粒子正在无限高势垒中的能量是量子化的。又由归一化前提 (4.2.6) 由的计较,能够看到量子力学解题的一些特点。正在解 定态薛定谔方程的过程中,按照鸿沟前提天然地得出了能 量量子化的特征(4.2.5),En是系统的能量本征值,响应的 波函数ψn是能量本征函数。正在一维无限高势垒间粒子活动 (1) 能量是量子化的,最低能量 E1≠0,这取典范力学大不不异,c9娱乐,这是 粒子波动性的反映,由于“静止的波”是不存正在的。能级的能量依n2 纪律加大,相邻能级间距越来越大. E ?i t n ? (2)含时间的波函数是 ? ~ sin x ? e ? ,这是一个驻波, a 指数部门暗示振动,振幅为 (如图4.2.2(b)),正在形式上像一 个两头固定的弦的驻波振动。这又一次指出,正在无限空间内,物质波 只能以驻波形式不变地存正在着。 (3)粒子正在势垒中的概率分布|ψ|2 是不服均的,并且有若干概率为零的点(节点)(见图4.2.2(c)). sin n? x a 粒子正在势阱中的活动,是一种较为常见的现象; 金属中的电子正在各晶格结点 ( 正离子 ) 构成的 “周期场”中活动,它们不会自觉地逃出金属, 简化这个模子,能够粗略地认为粒子被无限高的 势能壁正在金属之中。 氢原子中的电子就是正在三维库仑势阱中活动, 不外“阱壁”不曲直立的,而是按-1/r分布。近来, 人们设想制做了一种具有“量子阱”的半导体器 件,它具有介不雅 ( 介于宏不雅取微不雅 ) 尺寸的势阱, 阱宽约正在10nm上下。这种材料具有若干特征,已 用于制制半导体激光器、光电检测器、双稳态器 件等。 是现实环境的 极端化和简化 U( x) U( x) ? 0 方势阱 金属中的电子 正在箱子内 三维方势肼 §4.3 势垒贯穿 设如图3.3.1,正在x=0到x=a之间有一个无限高的一维势垒 V=V0.正在x0区域有一个粒子,其动能EV0,从左向左射向势垒,求 粒子的概率分布。 正在图中,将空间分为三个区域.粒 子从Ⅰ区射向Ⅱ区,正在x=0处 势垒。按典范力学,粒子的能量 不敷,不克不及越过势垒,将被反射 而折回。但正在微不雅世界则否则, 粒子的德布罗意波将部门地穿 过势垒。解题如下。 图4.3.1 无限高势垒 4.3.1 4.3.2 e 代表由左向左的入射波 ik1x 正在Ⅱ区,有 其通解为 Ⅲ区的方程同Ⅰ区,但这里无反射波,故 为求出通解 ψ1 , ψ2 及 ψ3 中的待定,需使用边前提。 波函数应正在 x=0及 x=a 处持续。由此能够求出比值 A3/A1 及 B1/A1 的表达式。三个区域中波函数示企图见图 4.3.2 , 图中表白,正在势垒后面 (Ⅲ区 ) ,粒子还有必然的概率分 布。处正在势垒前 (Ⅰ区 ) 的粒子有必然的概率穿透势垒而 逸出。 上式能够看出,势垒厚度 a 越大,粒子通过的几 率越小;粒子的能量 E 越大,则穿透几率也越大, 两者呈指数关系。例,一粒子质量为 1kg ,势垒 的厚度 a~10cm, V0-E=1eV,穿透几率约为 10-24 ,几乎不克不及穿透。这申明对宏不雅物体来说,即 即是总能量比势垒仅少 1eV ,其量子效应也是极 其 不 明 显 的 。 对 电 子 而 言 , me ~ 10-31kg , V0E=1eV , a ~ 10-8cm , 大 体 求 得 穿 透 几 率 为 e-0.1 ~0.9(一般环境下,穿透几率是比力小的 ),隧 道效应就变得十分较着了。 图4.3.2势垒贯穿时波函数 操纵量子地道效应,能够注释很多现象,放射性原子 核的α粒子衰变现象就是一种地道效应. 热核反映所的核能是两个带正电的核,如2H和3H, 聚应时发生的. 地道效应正在高新手艺也有着普遍的主要使用。例如, 地道二极管就是通过节制势垒高度,操纵电子的地道效 应制成的微电子器件,它具有极快(5ps以内)的开关速度, ? 典范 ? 量子 扫描地道显微镜 (STM) 也是使用地道效应的例子,如图 3.3.3,设法正在一个导体针尖顶端再制备一个由少量原子组 成的小尖端.此针尖距待测平面很是近,约1nm量级。正在一 般环境下,金属或介质中的电子,不克不及逸出概况,因 为它的能量低于概况外的空间的势能 (零 ) 。而现正在针尖取 待测物之间距离极近,这空地相当于一个高度无限而宽度 很小的势垒。正在针尖取平面间加一个小于几伏的电压,正在 这电压下,针尖中的电子还不克不及越过“空地”这一势垒进 入平面,但有必然的概率穿越势垒,构成“地道电流”。 地道电流的大小对势垒宽度 (针尖到平面的距离 )的变化非 常。当针尖沿平面扫描时,通过地道电流的变化,便 能描画出平面凹凸变化的轮廓。这种方式的分辩率极高, 其横向分辩率达 0.1nm, 纵向为0.01nm,可分辩出单个原子, 目前STM已可间接绘出概况的三维图象。STM手艺不只可 用来进行材料的概况阐发,间接察看概况缺陷,还可操纵 STM针尖对原子和进行和挪动,从头排布原子和 。使用到生命科学中,可研究DNA的构形等。 A U0 d U0 B U0 A 地道电流i 探针 d E B 样品 U i ? Ue ?A ? d 电子云堆叠 用地道效应察看样品概况的微布局 A——常量 图象处置系统 扫描探针 样品概况电子云 ? ——样品概况平均势 垒高度(~eV) 。 d ~ 10A d变 i变 反映概况环境 显示器 压 电 控 制 加电压 反馈传 感器 参考信号 隧 道 电 流 扫描地道显微镜示企图 图4.3.3 STM示企图 某种型号的扫描地道显微镜 1991年 恩格勒等用STM正在镍单晶概况遂个移 动氙原子拚成了字母IBM,每个字母长5纳米, 原子不是梦 “原子书法 ” 硅单晶 概况曲 接提走 硅原子 构成2 纳米的 线年中国科学院科学家“写”出的 平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米 “原子和的察看取” -- 白春礼 插页彩图13 4.4 简谐振子 简谐振动是物理学中经常呈现的一类 活动。本节引见一维微不雅简谐振子的 活动特点。正在简谐振动中,粒子所受 的力反比于它的位移 x ,而标的目的相反, 即粒子受力的 F=-kx,势能为V=1/2kx .故薛定谔方程是: 1 2 V ? kx 2 上式可改写成 3.4.2 式中 图4.4.1简谐振子能级 3.4.3 3.4.4 3.4.5 简谐振子的能级示于图 3.4.1,习惯上把能级画正在 势能曲线上。微不雅简谐振 子能级的特点: ? ω. 二是最低能级, 一是等距分布, 即n=0的能级,仍有能量1/2 ? ω,叫做“零 点能”。这意味着没有静止的简谐振子。 三是跃迁只能逐级进行,即能级之间的跃 迁从命Δn=1的选择定章。由一、三能够得 出绝对的谐振子测到的能谱中只要一条谱 线。这些特点有时常被用来指点理论工做。 图3.4.2 *§4.5 量子力学中的一些理论和方式 力学量的算符、本征值取本征函数 正在量子力学入彀算力学量时,力学量用算符暗示, 正在上节引见薛定谔方程时曾经指出, 正在典范的能量关系式中,如做变换 ? E ? i? ?t , p ? ?i?? 并使典范能量关系式两边感化于波函数,就获得薛定 谔方程量子力学中的力学量,大部门以算符的形式出 现 动能算符可由动量算符获得。因动能 故有 正在势场中,一个粒子的动能取势能函数之和叫哈密顿量, 记为H,H=T+V 薛定谔方程 (3.1.1) 和定态薛定谔方程 (3.1.7) 能够别离写成 ? ? ? (r ), ih ? (r ) ? H ?t ? ? (r ) ? E? (r ) H ? 感化于本人的本征函数ψA,等于一个数值A乘以ψA。 算符 A ? A 上式称为算符 的本征方程。解这个方程,就可获得算符 ? 的一套本征函数 ψA和响应的一套本征值A。 A 一个粒子能够有多个可测的物理量。若某粒子处于力学量 A 的本征态,则丈量 A 时将获得确定值。若正在 A 的本征态 下丈量另一个力学量B时,能否能获得确定的值,就纷歧 定了。若是A ,B 能同时具有确定值,那么它们就具有共 同的本征态, 4.5.3 角动量是原子物理中一个主要的力学量。本节引见微不雅 世界中角动量的特点。正在典范力学中,角动量L的暗示式 是L=r×p 。正在量子力学中,对电子的轨道活动,保留这 个关系,并将其用算符暗示: 4.5.13 4.5.14 4.5.15 4.5.16 d? 1 ?i ? Lz ?, ?(? )=Aexp(- Lz? ) d? i 1 1 exp( ? l z? ) ? exp[ ? l z (? ? 2? )], i? i? 2?l z exp[ ? ] ?1 i? lz ? m , m ? 0, ?1, ?2, 1 im? ?(? ) ? e 2? 式中 1 / 2? 为归一化因子,m称为磁量子数。从物理图 像上看,以上成果表白轨道角动量正在z标的目的上的投影值 为m ,这个现象称为角动量的空间量子化 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 2 2 ? ? sin ? ? Y ( ? , ? ) ? ? Y (? , ? ) ? ? 2 2? ?? ? sin ? ?? ? ? sin ? ?? ? 为使函数Y (? , ? ) 正在整个变化区域有界 Y (? , ? )是L ?2 本征函数 ? ? (0 ? ? ) ? ? l (l ? 1), l ? 0,1,2,... ?Y L l ,m 2 ?l ? 0,1, 2, , n ? 1 ? l (l ? 1) Yl ,m ? ?m ? l , l ? 1 , ?l 2 m Yl ,m ? ?l ,m ? m ?l ,m ? BPl (cos ? ) 2 ? 总之,对微不雅角动量, L 的本征值是 z 这个结论,不单取典范力学分歧,取玻尔理论也有底子 性的差别,玻尔理论曾给出氢原子中电子的量子化角动 2 ? 能够同时测得确定值。 ? L L z ? 的本征值是 , L 。 。正在量子力学中存正在l=0。即L=0的形态,取玻尔概念是 相矛盾的。L=0意味着轨道将通过原子核。量子力学中l 的上限是n-1,而玻尔理论中, 可等于n。尝试成果 表白,量子力学成果是准确 图4.5.1角动量的矢量模子 § 3.6 氢原子问题是用薛定谔方程独一能够严酷求解的原子 布局问题,因此也是最有代表性的。本节将给出解题 的大致步调,列出成果,并会商其物理意义。 3.4.1氢原子的能量本征值取本征函数 (4.4.1) 图4.4.1 球坐标 式中左边第一取第三项只感化于波函数中取矢径r相关的 部门,第二项只感化于取角度θ,φ相关的部门,能够应 用分手变数法.令 4.4.3 3.4.2 上式中等号左边只是矢径的函数,左边只是角度的函数. 若它 们相等,必定等于一个 . 令此为 -λ,就获得两个方程: (4.4.4) (4.4.5) 4.4.6 解题得出三个量子数n,l,m。 从量子数n=1,2,3,… 角量子数l=0,1,2,…n-1 磁量子数m=0,±1,±2,…±l 从量子数n取电子的能量相关,具有响应能量的电子顺次称 为 K , L , M , N , O , P , … 从壳层的电子;角量子数 l 取电 子的角动量相关, l=0,1,2,3,4,5,… 的态顺次称为 s,p,d,f,g,h , … 态,处于这些态上的电子顺次称为s,p,d,f,g,h,…,电子,也叫 次壳层电子;磁量子数 m 取电子的磁矩相关 ( 具体内容正在第 六章),对应一个l,m可暗示为ml,ml可取2l+1个值。 (4.4.9) 因R,Θ,Φ别离是r,θ,φ的函数,所以电子正在三个坐标 的概率密度是的,能够分分歧坐标来察看。上述归 3.4.12 图 4.4.2 给 出 n=3 各态 径向波函数 R3l 取 r 的 关系曲线则 给出了径向概率密度 r2R2 图3.4.2 R3l 取r关系图 由图4.4.2 和4.4.3可 以得出什 么结论? 图4.4.3 氢径向概率密度 其图形应是绕 Z 轴扭转一周的一 个扭转体,暗示 概率密度取空间 取向的关系。正在 这图中还把用矢 量模子画的空间 量子化图附上, 以资比力。能够 看到此中有某种 对应关系 图4.4.4Θ2做为θ的函数和对应的轨道 图4.4.5 氢原子基态的电子云图 图 4.4.6 氢 原 子 n=2 的 各 状 态 的 电 子 云 图 (a)l=0,ml=0;(b)l=1,ml=0; (c)l=1,ml=±1 §4.7 宇称 宇称是描述微不雅粒子波函数空间反演对称性的一个物理量 第六章: 量子力学导论