量子力学的创始人是
更新时间:2019-11-04   浏览次数:   

  u1Y11 u2 Y10 u3 Y1 Lx矩阵是33矩阵 计较中 利用了 公式 由此得Lx矩阵元 Lx 11 Lx 22 Lx 33 Lx13 Lx 31 Lx12 Lx 21 Lx 23 Lx 32 212 Lz正在本身中具有最简 单形式是一个对角矩阵 对角元素就是 Lz的本征值 同理可得Ly

  u1Y11 u2 Y10 u3 Y1 Lx矩阵是33矩阵 计较中 利用了 公式 由此得Lx矩阵元 Lx 11 Lx 22 Lx 33 Lx13 Lx 31 Lx12 Lx 21 Lx 23 Lx 32 212 Lz正在本身中具有最简 单形式是一个对角矩阵 对角元素就是 Lz的本征值 同理可得Ly Lz Lx的矩阵元可如下计较 1力学量算符用厄密矩阵暗示 所以厄密算符的矩阵 暗示是一厄密矩阵 例2正在例1中给出了 Lx Ly正在 L2 Lz中的矩阵形式下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵 厄密矩阵 二Q中力学量算符 的性质2力学量算符正在本身中的形式 Q的矩阵形式 结论 算符正在本身中是一对角矩阵对角元素就是算符的本征值 1只要持续本征值 若是 Q只要持续本征值q 的会商仍然合用只需将u 换成持续变化的q乞降换成积分见下表 分立谱 持续谱 算符F正在Q仍是一个矩阵矩阵元由下式确定 只是该矩阵的行列是不是可数的而是用持续下标暗示 有持续本征值的环境例3求坐标中 F的矩阵元 求动量中F的矩阵元 要计较此积分需要 晓得 F的具体形式 一平均值公式 二本征方程 三Schrodinger方程的矩阵形式 前往 量子力学公式的矩阵表述坐标平均值公式 正在Q中 式左写成矩阵相乘形式 简写成 一平均值公式 写成矩阵形式 上式是一个齐次线性方程组方程组有不完全为零解的前提是系数行列式等于零 将其别离代入原齐次线性方程组就能获得响应于各λi的本征矢于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题 二本征方程 本征函数um 正在本身中的矩阵暗示同样将 um 所以um 正在本身中的矩阵暗示如下例如 L2 Lz的配合本征函数 Y11 Y10 Y1 L2Lz Lx本征态正在Lz中的矩阵暗示只会商 环境Lx的本征方程为 欲得a1a2 a3 不全为零的解必必要求系数行列式等于零 代入本征方程得解得a1 1212 a2 a3 1212 a2 a2为简单计 取实数 同理得别的两个本征值响应本征函数 按力学量算符Q的本征函数展开 都是矩阵简写 三Schrodinger方程的矩阵形式 周世勋《量子力学教程》41 43 44 Dirac符号 四总结前往 前四章给出的都是 中的形式本章中给出了任一力学量 来暗示一个矢量而不器具体坐标系中的分量 Ax Ay Az 暗示一样 量子力学能够不涉及具体来会商粒子的形态和活动纪律这种笼统的描述方式是由 Dirac 起首援用的 所以该方式所利用的符号称为 Dirac 符号 1左矢空间前面曾经讲过一个形态通过一组力学量完全集的丈量完全丈量来确定凡是用所测得的力学量的量子数来确定 例如一维线性谐振子其形态由量子数 如斯等等正在笼统中 Dirac 用左矢空间的一个矢量 取量子形态相对该当矢量称为左矢 由于力学量本征态形成完整系所以本征函数所对应的左矢空间中的左矢也构成该空间的完整左矢或基组即左矢空间中的完整的根基矢量简称基矢左矢空间的任一矢量 可按该空间的某一完整基矢展开例如 态矢量2左矢空间 左矢空间中的每一个左矢量正在左矢空间都有一个相对应的左矢量记为 例如 Dirac 符号 左矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间 Qn构成左矢空间的完整基组 任一左矢量可按其展开 即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完整基矢展开 3伴矢量ψ Qn展开 a1Q1 a2 Q2 Qn展开系数即相当于 Qn展开 a1Q1 a2 Q2 Qn展开系数即相当于 a1a2 同理某一左矢量 b1Q1 b2 Q2 bn Qn 定义ψ 的标积为明显 这就是用Dirac暗示的波函数 归一化前提 由标积定义得 一化前提可写为由此能够看出 ψ的关系1正在统一确定中各分量互为复共轭 2因为二者属于分歧空间所以它们不克不及相加只要统一空间的矢量才能相加 3左矢空间任一左矢能够和左矢空间中任一左矢进行标积运算其成果为一复数 4本征函数的封锁性 展开式 两边左乘 Qm 代回原式得由于 是肆意态矢量所以成立 Qn的封锁性 展开式为II 代入原式 由于 是肆意态矢所以有同理对于 这就是持续本征值的本征矢的封锁性因为 所以 它们也称为单元算符正在运算中可插入乘到公式任何处所而不改变原公式的准确性 例如正在 左侧插入算符同理 即得态矢按各类力学量本征矢的展开式 投影算符 Qn Qn或q 的感化相当一个算符它感化正在任一态矢ψ上相当于把 投影到左基矢Qn 上即感化的成果只是留下了该态矢正在Qn 上的分量 Qnψ QnQn 为投影算符由于ψ 所以明显有封锁性正在 正交归一性的暗示式是对坐标的积分封锁性暗示式是对本征值乞降或积分 所以我们也能够把封锁性注释为本征函数对于本征值的乞降或积分是正交归一的它来自于本征函数的完整性也是本征函数完整性的暗示 分立谱 持续谱 封锁性取正交归一性比力 正在形式上 二者类似 区别 左矢空间正在笼统的Dirac Dirac 符号的特点是简单矫捷若是欲把上式写至 Qm把公式 变到 中的矩阵暗示的 矩阵元 Fm X 平均值公式插入 单元算符 2共轭式左矢空间 表白量子力学中的力学量 既能够向左感化到左矢量上 也能够向左感化到左矢量上 代回原式故坐标算符 正在动量中取如下形式1X 描述取 Dirac 符号 Dirac 符号 项目 四总结 2摆布矢空间的对应关系 左矢空间 左矢空间 厄密共轭法则由常量 C左矢左矢和算符构成的暗示式求其厄密共轭式的暗示法则 1把全数次序整个 2做如下代换 常量 左矢例如 一引言 三实例 HellmannFeynman 及使用 前往 关于量子力学系统能量本征值问题有不少此中使用最普遍的要数 Hellmann Feynman 简称 F该的内容涉及能量本征值及各类力学量平均值随参数变化的纪律1当系统的能量本征值已求出借帮于H F能够得出关于 各类力学量平均值的很多消息而不必操纵波函数去进 行烦琐的计较 2操纵 能够很巧妙地推出维里一引言 设系统的 Hamilton 中含有某参量λEn 是归一的态本征函数n为一组量子数则 满脚本征值方程其共轭方程为 由共轭方程知上式等 号左边第二 1证明一维谐振子 一维谐振子Hamilton 取μ做为参数λ由HF 简记为 三实例 周世勋《量子力学教程》3738 配合本征函数一两力学量同时有确定值的前提 二两算符对易的物理寄义 三力学量完全调集 前往 一两力学量同时有确定值的前提 系统处于肆意形态 x时力学量 一般没有确定值若是力学量 结论当正在 态中丈量力学量 时若是同时具有确定值那么必是 二力学量配合本征函数 二两算符对易的物理寄义 所以 是特定函数 非肆意函数也 例如 Y00Lx Lz 同时有确定值 可是若是两个力学量的配合本征函数不止一个而是一组且形成完整系此时二力学量算符必可对易 调查前面二式 若两个力学量算符有一组配合完整 的本征函数系则二算符对易 是肆意函数逆若是两个力学量算符对易则此二算符 有构成完整系的配合的本征函数 12也都是 的本征函数因而二算符具有配合完整的本征函数系仅考虑非简并环境 只差一Gn 一组力学量算符具有配合完整本征函数系的充要前提是这组算符两两对易 三力学量完全调集1定义为完全确定形态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小数目调集称为力学量完全集 一维谐振子只需要一个力学量就可完全确定其形态2力学量完全集中力学量的数目一般取系统度数不异 3由力学量完全集所确定的本征函数系形成该系统态空间的 一组完整的本征函数即系统的任何形态均可用它展开 测不准关系一测不准关系的严酷推导 二坐标和动量的测不准关系 三角动量的测不准关系 前往 一测不准关系的严酷推导 由上节会商表白两力学量算符对易则同时有确定值若不合错误易一般来说不存正在配合本征函数 分歧时具有确定值 问题 两个不合错误易算符所对应的力学量正在某一形态中事实不确定到什么程度即不确定度是几多 不确定度 丈量值 Fn 取平均值 的误差的大小 1测不准关系的严酷推导 II测不准关系的严酷推导 设二厄密算符对易关系为 最初有对肆意实数 均成立 由代数二次式理论可知该不等式成立的前提是系数必需满脚下列关系 两个不合错误易算符均方误差关系式 测不准关系 均方误差 此中 二坐标和动量的测不准关系 表白坐标取动量的均方误差不克不及同时为零其一越小 另一就越大 1测不准关系 2线性谐振子的零点能 振子能量 被积函数是x 的奇函数 于是二均方误差不克不及同时为零故 因均方误差不克不及小于零故取正零点能就是测不准关系所要求的最小能量 三角动量的测不准关系 例1操纵测不准关系证明正在 Lz 〈Lx〉〈Ly〉 因为正在Lz Ylm中丈量力学量 Lz 有确定值所以Lz 则测不准关系平均值的平方为非负数 欲不等式成立必有 同理 例2L2LZ 配合本征态 Ylm 下求测不准关系 可知由对易关系 等式两边左乘 Lx 将上式两边正在 Ylm 态下求平均 将上式两边正在 Ylm 态下求平均 则测不准关系 周世勋《量子力学教程》353639 曾谨言《量子力学导论》 410412415 第五章 态和力学量 Dirac符号 Feynman及使用 前往一动量 二力学量 三会商 态的前往 到目前为止系统的形态都用坐标 xyz 的函数暗示也就是说描写形态的波函数是坐标的函数力学量则用感化于坐标函数的算符暗示可是这种描述体例正在量子力学中并不是独一的这正如几何学当选用坐标系不是独一的一样坐标系有曲角坐标系球坐标系柱坐标系等但它们对空间的描写是完满是等价的 波函数也能够选用其它变量的函数 力学量则响应的暗示为感化于这种函数上的算符 量子力学中态和力学量的具体暗示体例称为以前采用的是坐标下面我们要引见其他 正在坐标中系统的形态用波函数 xt 描写如许一个态若何用动量为变量的波函数描写正在前面几章中曾经有所引见 动量本征函数 构成完整系任一形态可按其展开 展开系数 假设 xt是归一化波函数则 pt也是归一 命题 xt所描写的形态中丈量粒子的动量所得成果正在 xt2d xt所描写的形态中丈量粒子的所得成果正在 xt是该形态正在坐标中的波函数 pt就是该形态正在动量中的波函数 pt物理意义 xt描写的态是具有确定动量 的粒子态即则响应动量中的波函数 所以正在动量中 具有确定动量p的粒 子的波函数是以动量 p为变量的δ 函数 换言之动量本征函 数正在本身中是一 个δ函数 正在本身即坐标中对应有确定值 x本征函数是 同样这可由本征 值方程看出 那末正在任一力学量Q中 xt所描写的态又若何暗示呢 推广上述会商 p都是力学量别离对应有坐标和动量因而能够对任何力学量Q都成立一种称为力学量 问题 1具有分立本征值的环境 2含有持续本征值环境 二力学量 1具有分立本征值的环境 Q1Q2 Qn 响应本征函数为u1 xt所描述的形态 中丈量Q得Qn的几率 a1 就是xt 所描写形态正在Q中的暗示 写成 矩阵形式 共轭矩阵 归一化可写为 2含有持续本征值环境 例如氢原子能量就是如许一种力学量 即有分立也有持续本征值 设力学量 的本征值和本征函数别离为Q1 Q2 Qn xt态中丈量力学量 所得成果为Qn 的几率 aq q之间的几率正在如许的中 仍能够用一个列矩阵暗示 归一化仍可表为 这雷同于一个矢量能够正在分歧坐标系描写一样矢量A正在曲角坐标系由三分量Ax Ay Az 描述正在球坐标系用三分量Ar 描述Ax Ay Az 形式分歧但描写统一矢量A态矢量 根基矢量 统一形态能够正在分歧用波函数描写分歧 波函数的形式也分歧可是它们描写统一形态 三会商 波函数 是态矢量正在Q中沿各基矢标的目的上的分量Q的基矢有无限多个所以态矢量所正在的空间是一个无限维的笼统的函数空间称为Hilbert空间 所以我们能够把形态当作是一个矢量态矢量 拔取一个特定力学量 相当于拔取特定的坐标系u1 的根基矢量简称基矢 21 31 41 1216 20 24 28 32 36 40 44 48 a0a0Wn 024020 016 012 008 004 Wn 的函数关系nl Rn 积分Rnl 内的几率左图示出了各类 m态下Wm 关于 的函数关系因为它取 角无关所以图形都是绕z轴扭转对称的立体图形 该几率取 角无关 W0014 38πsin2 时W1034π cos2正好取例2相归正在 0时最大正在 π2时等于零 前往电子云演示 课件下载 三类氢离子 以上成果对于类氢离子He Li 等也都合用只需把核电荷 换成Zeμ 换成响应的折合质量即可 类氢离子的能级公式为 即所谓 Pickering 线原子中的电流密度 原子处 电子正在原子内部活动构成了电流其电流密度 代入 球坐标 中梯度 暗示式 因为ψnlm 的径向波函数 Rnl 相关的函数部门Plm cos 都是实函数所以代入上式后必然有 向分量最初得 四原子中的电流和磁矩 2轨道磁矩 则总磁矩 轴的环电流密度所以通过截面 的电流元为对磁矩的贡献是 圆面积 相关这就是把 磁矩MZ 由的MZ 表达式 因子取e2μC 为单元则 因为原子极轴标的目的即z标的目的是肆意拔取的所以上式也 能够暗示为 ML 的角标暗示是 轨道角动量磁矩 暗示前往 周世勋《量子力学教程》32 《量子力学导论》6566 第四章量子力学中的力学量 一厄密算符的平均值 三厄密算符本征函数的正交性四实例 前往I系统任何形态ψ下其厄密算符的平均值必为实数 ψ1cψ2此中 也是肆意态的波函数c是肆意 一厄密算符的平均值 由于对任 意波函数 二式相加得二式相减得 所得二式恰是厄密算符的定义式 故逆成立尝试上的可不雅测 量当然要求正在任何形态下平均值 都是实数因而响应的算符必需 所以摆布两边头两项相等相消于是有1涨落 必为实数因此 也是厄密算符 厄密算符平方的平均值必然大于等于零 于是有 2力学量的本征方程 若系统处于一种特殊形态 正在此形态下丈量F所得成果 是独一确定的即 则称这种 形态为力

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