对这种不确定性的量的描写如下
更新时间:2019-11-08   浏览次数:   

  §3.4 本征函数系的一般性质 1. 本征函数系的正交性 定义:若两个函数和满脚 则称它们是正交的。 正交性:统一个Hermitian算符的属于分歧本征值的本征函数是相互正交的。 申明:(1)若的本征值谱简并的和离散的,本征值为,本征函数为,那么波函数是平方可积的,因此能够归一化,所以我们有 此中 (2)若的本征值谱简并的和持续的,那么本征函数能够按-函数归一化,所以 2. 同时本征函数 若是呈现简并(即一个本征值有若干个线性的本征函数)的景象,则正交性不克不及统一本征值的分歧本征函数是相互正交的。处理的法子是考虑同时本征函数。 定义:若和是两个算符,则 称为和的对易括号或对易子。正在时,称和对易,不然称为不合错误易。 :若,则和能够有同时本征函数,即存正在使得和(和是)同时成立。 该也很容易推广到多个算符的景象。 同时本征函数描写的就是几个力学量同时有确定值的形态。 如许,若是算符的本征值有简并,我们就再引进另一个算符,满脚,并求出和的同时本征函数。若是对于简并的(同时)本征函数对于不是简并的,那么正交性就了它们是正交的。但也可能和的同时本征函数仍然有简并,我们就再引进第三个算符,如斯等等,曲到所有的简并完全去除为止。这时,一组量子数就完全确定了一个量子态。 这种景象多半呈现正在多度系统中。对这种系统,一组两两对易的、最大数目标(便是说,完全去除简并的)算符集称为它的完整算符集。完整算符集中算符的数目就是系统的度数。 例1. 动量算符的各个分量是相互对易的, 而 恰是它们的同时本征函数,我们曾经晓得它们是按函数正交归一的,而且任何波函数都能够用它们来展开(函数的Fourier变换)。 例2. 不难验证 而的同时本征函数恰是。对于氢原子还有 而的同时本征函数恰是氢原子的能量本征函数,由此我们晓得必然是对都正交归一的: 功课:无。 §3.5 力学量的丈量几率和平均值 1. 按本征函数系展开 一维景象。假设力学量算符的本征值集是(离散的、非简并的),本征函数系是。是任何给定的波函数。按叠加道理,我们可写 留意到是正交归一的, 所以正在上式两头乘以并对积分,就得 这就称为按本征函数系展开。 推广:(1)本征值是持续谱,本征函数系是(持续变化),这时展开式是 因为是按函数归一的, 所以系数是 (2)多度系统(例如三维活动)。这时要按完整算符集的同时本征函数系展开。系数的计较方式是雷同的。 (3)取时间相关的波函数。这里独一的区别是系数也变得取时间相关了,成为。 力学量的丈量几率 问题:对于一个给定的量子形态,丈量某个力学量获得各类丈量值的几率是多大?先看简单的一维离散景象。 量子力学的丈量几率假设:若任何量子态按力学量的本征函数系展开的成果是 那么对这形态丈量获得丈量值的几率是 此中我们曾经晓得的计较公式是 关于几率归一化的验证:若是是归一的,即则丈量获得各类丈量值的总几率也是归一的: 推广:(1)本征值是持续的。此时要引入几率密度:记丈量值正在间的几率为,则 是的丈量几率密度,它的计较公式是 (2)对多度系统,只问某一个力学量的丈量几率,经常会有简并。这时要找到一个包含的完整力学量集,并求出它们的同时本征函数。设力学量的离散的本征值的简并度是,简并的本征态是,而的展开式是 那么 对持续谱的环境也做雷同的推广。 3. 力学量的平均值 平均值的定义是: (对离散谱) 或 (对持续谱) 它的计较方式是:若是是曾经归一的,即则 若是没有归一,则 这个式子不依赖于的本征值谱是离散的仍是持续的。 例子:一维谐振子基态的动量丈量几率和动量平均值。 功课:p.100,#3.1(不要时间因子,不做(3));#3.2(不做(5)); p.101,#3.6,(提醒:改写为虚指数函数); p.102,#3.9,留意:正在球坐标中 §3.6 不确定关系 若,则和不克不及同时有确定值。例如: 这是量子力学的根基对易括号。它正在素质上是波粒二象性的反映。例如正在粒子的单缝衍射尝试中,越小,就越大,,二者不克不及同时有确定值。所以,摩斯国际官网,活动轨道的概念对微不雅粒子是不合用的。 对这种不确定性的量的描写如下。定义误差算符为: (是的平均值) 那么 这个量描写了力学量的丈量值的误差程度。我们的问题是:若是,那么和有什么关系?计较的方式如下。 引入 它必然 而另一方面, 此中留意 按照二次三项式的判别式的性质,正在时, 这就是Heisenberg不确定关系。正在数学上称为Schwarz不等式。 对于,有,所以 也有时记 (方均根误差) 那么, 使用不确定关系的一个例子:谐振子的零点能。现正在 所以, 对于谐振子,,所以,,因而, 正在极限环境下,不确定关系取“=”号: 求正在这个束缚前提下的极小值,获得 这恰是谐振子的零点能。我们看到,非零的“零点能”是不确定关系的成果。 功课: p.101,#3.8 (参看#2.3)。 1

  1.本坐不应用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而间接下载发生的问题本坐不予受理。

  请盲目恪守互联网相关的政策律例,严禁发布、、的言论。用户名:验证码:匿名?颁发评论