当然这个完整性只相对付可归一化态空间而言
更新时间:2019-11-08   浏览次数:   

  644 [附录 C] 算符完整性的 4 个 I力学量算符本征函数族完整性的 4 个 本节阐述 4 个不合层次的算符本征函数族的完整性。 无限维2L 空间中算符完整性 [无限维完整性] “一个线性算符 A 如能满脚某一无限最低阶代数方程 这里阶的意义是已除去了沉根 1。” 会商i, 寄望此处 A 不限于厄密矩阵, 以致可以或许是有零本征值的无逆矩阵。ii, 由此投影、宇称、自旋等算符具有完整性。iii, 对于有完整组的算符可得它的独一谱暗示为12120nnnnAc Ac Ac C.1 12,,,nc cc 为常系数...

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  644 [附录 C] 算符完整性的 4 个 I力学量算符本征函数族完整性的 4 个 本节阐述 4 个不合层次的算符本征函数族的完整性。 无限维2L 空间中算符完整性 [无限维完整性] “一个线性算符 A 如能满脚某一无限最低阶代数方程 这里阶的意义是已除去了沉根 1。” 会商i, 寄望此处 A 不限于厄密矩阵, 以致可以或许是有零本征值的无逆矩阵。ii, 由此投影、宇称、自旋等算符具有完整性。iii, 对于有完整组的算符可得它的独一谱暗示为12120nnnnAc Ac Ac C.1 12,,,nc cc 为常系数则 A 的本征函数族必是完整的。这里最低iiiiA。 2无限维[Courant-Hilbert ] “若是一个分立谱厄密算符 H 有下限而无上限则它的本征函数族 即对此空间中肆意可归一化物理态 A H 正正在均方逼近的意义上成立 2L 空间分立谱 H 完整性ICourant-Hilbert nx就2L 态空间H 而言是完整的。意1A A   下面展开式200;;1nnmmnnnAA  ” C.2 此证明及详尽正文见本书10.1, 变分体例。利用会商见下。 3无限维[定义] 动量中绝对平方可积以及乘 2L 空间分立谱 Hamilton 量完整性(II)Kato 4p 后仍绝对平方可积 1 P.A.M.Dirac, 《量子力学事理》 科学出版社1965 年。p.31。 645   224;Fp Fpdp   C.3 的动量波函数 Fp 全数集结以及对应坐标波函数集结称为区域TD 。寄望[附录 B]关于对称算符数学的厄密算符的定义。 [Kato (1951)] “设多体 Hamilton 量算符 H称算符 并且若其中势能算符VTV正正在2L 中为对r12,,,sV r rr对所有下述类型的函数 T L (即V22221212,,,exp)则 H 正正在定义域1 2ssrf r rrrr (C.4) 传染感动后仍属于2 rLD 上是自伴的本征函 数 族 是 完 备 的 。 也 即  对 任 意 可 归 一 物 理 态1;TD    正正在均方逼近意义下有如下展开式成立     0;,nnmmnccdcc   ” (C.5) 证见文献2此处略。 Kato 会商 i, 寄望 Kato 也只合用于凡是的 Hilbert空间平方可积函数空间但 Kato 不要求能谱上限必然为无限能谱可以或许分立或持续势函数也可以或许有必然限度的奇性。 ii, Kato 最简单的利用是表了然氢原子全数分立谱态是2L , 不合用于 QT 的扩大的 Hilbert 空间。2L 空间的一个完整族可用来展开肆意平方可积物理波函数。 这里并不包含分立谱的聚点0self-adjoing 算符是说 若是算符 H 的闭包 closure 算符是自伴的就说算符 H 是本质自伴的。 Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 70, No.2, (1951)195-211 L. Hormander, Linear Functional Analysis, Theorem3.2.12, p.94, Lectures Fall Term 1988, University of Lund。 E  处的解。 寄望 本质自伴 essentially 2 Tosio Kato, Fundamental Properties of Hamiltonian Operators of Schrodinger Type, 646 iii, 对一类广泛的多体势只需存正正在两个非负,C R 使得  121201,,,,,,nnnniii jijiijV r rrVr rrVrVrr V1222,,,, ,, ,ni jrRi jVr rrCVx y zdxdydzCVx y zC rR中不成分手部份 (C.6) 则 Kato 必然成立。容易看出多电子库伦势情况是满脚这些前提的3。于是多电子原子全体态解对2L 空间也是完整的。以致对势3 2mrm也如斯。 L 空间同化谱 Hamilton 量完整性III Fadeev-Hepp 家喻户晓, 一个算符的完整性不只和算符本身构制相关还亲近依赖于它传染感动对象的范围定义域。对于凡是 Hilbert 空间数类最保守的是紧緻完全持续的自伴算符它们本征函数族是4扩大的22L 函完整的谱是闭集结的纯点谱4。第 23两点都只合用于 H 的定义域为2L 的。但一方面, QT 涉及的 Hamilton 量大都并非紧緻自伴算符现实上操纵的算符已拓宽。另一方面, 由于物理描述需要QT又扩大了 Hilbert 空间加进了大量非平方可积函数即各类非正轨态矢5。态空间的扩大也即算符 H 定义域扩大。比如对 e-p 系统负能区只包含可归一的态 若计及正能区 扩大的态空间将包含不 3 M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol.I:《Functional Analysis》 p.304; Vol.II:《Fourier Analysis, Self-Adjointness》p.167, Elsevier(Singapore) Pte Ltd. 。 4 В.И. 斯米尔诺夫高档数学教程V-2人平易近教育出版社1979 年p.442, 461。 5 P.A.M.Dirac, 《量子力学事理》 科学出版社1965 年p.38、47。 647 可归一的各类非局域态。 操纵算符和定义域两个方面的扩大, 不单要求完整性概念需要扩充, 更是给本就坚苦的算符完整性证明带来难以逾越的坚苦。 此时问题的数学不成能获得比较广泛的处置 目前以致未能获得针对常见具体问题的 H 的充要前提。 由无限远处粒子能量分析可知 H 分立谱态和持续谱散射态的分界点为0E 6。由 Kato 可知 正正在必然前提下能够大概将负能量态完整性问题解除只需研究对全体入出射的渐近态而言全体散射态可否完整的问题。 [多道散射渐近态定义] n个粒子系统正正在多道散射中渐近入出 态定义为 当t 渐近趋近的态 0/intout 时 全相互传染感动系统 H 正能量现实态  所101/0/1in///0/1out/nntiHtiH tiH tiH tniniHtiH tiH tiH tnouteeeeeeee       (C.7) 算符HH为 入  出射道的道 Hamilton 量, 为 入  出射道的渐近态。 [多道散射态空间定义] 由向第  态演化而来去的全相互传染感动系统的形态空间称为inout分袂  入出射道全体渐近RRR 全体子空间RR 的曲和空间0nRRR0nRR称为由向入出射态演化而来去的散射态空间。寄望单个入射道和出射道之间并不逐一对应以致 R和 R也不必然相等 。系统H 的全体态空间则记为 B 。由渐近完整性定义9.119d式有 6 朗道栗弗利茨 《非量子力学》 高教出版社1980 年。18。 648 [Fadeev-Hepp 1965-1969] “ 若是系统 Hamilton 量T   则可证这个多道散射理论是渐近完整的。” 证明见文献7, 或文献8。 Fadeev-Hepp 会商i寄望前提C.8是充分的。其中第一条势正正在无限限处可积 第二条势正正在奇点附方可积它HVr))中, 球对称的势函数满脚 :0:) 033 20iV rV r:O rO r 除无限个无限阶跃间断点之外, 持续。利来w66官网, C.8 iiiiir   rV r 和(C.6)式中体散射态形成扩大 Hilbert 空间的一组渐近完整基。不过即便简单如库伦势散射态严格波函数表达式也较复杂不便用做基矢。所以i jV 的类似。较着库伦势满脚此前提。因此 e-p 系统全此处 e-p 系统全体散射态渐近完整性的结论只需纯理论意义。 ii, 对于解形式比较简明的各类一、二、三维无限无限深势阱散射问题 它们既有阱中粒子态分立谱 也有能量高于阱深的入射粒子散射态持续谱此时 C-H 、Kato 和 Fadeev-Hepp相连络有着较着的合用价值。但要寄望两点其一后者和前两者完整性含义是有不同的 后者有散射态并都对应于各类渐近态的问题第二对无限深势阱情况寄望其 H 未必对所有物理波函数满脚对称算符前提不能对这些态零丁操纵 Kato 认为 7 T.Ikebe,Arch Ration, Mech. Anal., Vol.5, p.1, 1960; L.D.Faddeev, Mathematical Aspects of the Three-Body Problem in Quantum Scattering Theory, Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, 1965; Wiley & Sons , Inc., 1972。p.33。 8 J.R.Taylor, Scattering Theory: The Quantum Theory on Nonrelativistic Collisions, John 649 这些无限数目态是完整的。但只需势阱函数满脚 Fadeev-Hepp前提可以或许对这些态加上全数散射态操纵 Fadeev-Hepp 。 II, C-H 利用(I)━━焦点场径向波函数完整性分析 1, 下限问题。C-H 处置了一类分立谱 Hamilton 量本征函数族的完整性问题。当然这个完整性只相对于可归一化态空间而言。量子系统老是要有基态的。 否则由于扰动、 出格是实空涨落的盲目扰动将会不竭向下跃迁系统不不变最终会塌缩掉。一般不必担心下限问题。只需能谱分立且无上限就可以或许引用这个。 2, C-H 的间接利用。 C-H 表了然量子谐振子全体解集结是完整的对集结也是完整集结正正在单位球面上即球谐函数展开 无限深方阱,x     上全体2L 函数 此外轨道角动量全体解中波函数全体也是完整的能展开定义正正在阱内、两端点及阱外为零、正正在阱内可微的肆意2L 函数等。 3, 一维 C-H 。文献 9正正在为类似会商举例时对一维情况要求 宽为: 承诺 [一维C-H] “设一维Hamilton量肆意态中平均值有下界。即对肆意单值、持续、可微除无限个孤立Vx 有下限。但现实上只需利用此处 C-H 前提可放 Vx 有奇点但平均值有下界。于是有如下推理 10  22HpmVx中  Vx 正正在点外的平方可积函数 x存正正在一个不依赖于 x C.9 的C 使得    Vx Vxx dxC 10 张永德, 《量子力学》, : 科学出版社。2008 年。第三章, 1。 9 李政道 《粒子物理取场论》 山东科学手艺出版社1996 年第 10 页。 650 则此 Hamilton 量的本征函数族是完整的。” 证只须证明此系统 Hamilton 量 H 有下界、无然后利用前面Courant-Hilbert 即可。现实上H 有下界。因为按前提有 H = T + VVc 此式对肆意态均成立。同时H 又是无的。因为若是取2-x(x) = e2- x22m dxT =e由于T4, 焦点场径向波函数的完整性问题 一维 C-H 有一个平平的特例就是能导致 H 有下界无的结论。 可是, 更头要的是研究 Coulomb 势和其它奇性焦点势情况。焦点场rR r2较着它满脚中所设的前提并且 2-+-122222222+- x22-2xd2 m2e-edx==2mdx 0+   非论 V 有无 H 无。 证毕。  Vx 有下限minV11。这较着  r的径向方程就像是正正在原先 V r 上添加了正的2r离心势的一维定态 Schrodinger 方程。此时r  处势有奇点需要另行考虑, 现正正在用一维 C-H 则较为便当。寄望到焦点场原点处存正正在波函数的天然边前提0 00rr 12。于是, 只需求函数的零点性质阐发传染感动积分数值有下限  V r 加上离心势后, 再连络这个天然边前提所导致的波  2221r2l lV rrdrC (C.10) 理的一个特例。 11 这就是李政道正正在《场论取粒子物理学》 上册第 13 页例 1中的论断。现正正在它是此定12见脚注 10 文献, 第四章, 焦点场态问题。 651 则此焦点场问题全数解的完整性就能。较着, 正值离心势的存正正在只会无益于下限的存正正在。但非论离心势存正正在取否, 由于焦点场原点处天然边前提 非论其吸引电荷多强, 积分不才限处都。所以不存正正在 Coulomb塌缩而且库伦势波函数族一般说包含正能量散射态是完整的。 此外, 做为一维 C-H 最简单特例是勾当, 集结是完整的。结论较着是家喻户晓的。 III, C-H 利用(II)━━焦点场径向波函数塌缩分析 当焦点吸引势的奇性强到必然程度 有可能发生波函数几乎全数 00rrrR r  的存正正在, 对于负一阶的 Coulomb 势,  0V r  。这响应于l  的 S 波积分值也有下限。 Elm01rlrcr , ,。这时即便对0,,ElllmrNjkr YElm  所代表的粒子球面波集中于焦点原点, 粒子最终落入力心形不成定态。这就是焦点场塌缩也称 Landau 坠落 13。下面按 C-H 精练申明这一问题。 焦点场里关于 了正的r理 只需求2 rR rr的径向方程就像是正正在原先 V r 上添加2离心势的一维定态 Schrodinger 方程。按一维 C-H 定  这些类型焦点场的解集结都是完整的。当然也就不会发生物理态塌V r 取离心势之和能够大概下面积分值有下限 r  2221l lV rrdrC (C.11) 缩、响应波函数不能展开的奇性现象。 较着, 负数值离心势的存正正在只会无益于下限的存正正在。但即便离心势不存正正在, 由于焦点场原点天然边前撮要求 0l   00rrrR r  , 13 朗道栗弗利茨 《非量子力学(上) 》 35, p. 140-143。 652 于是对负一次幂的Coulomb势, 非论其吸引电荷多强, 积分不才限处总会。所以不存正正在 Coulomb 场塌缩问题。 现正正在研究什么样的焦点场会呈现塌缩。 较着 径向解   rR rr具体外形依赖于势 V r 的外形。从(C.11)积分看出只当2r影响, 才会发生塌缩。 由向 2此方程解 方程的方针方程( 于是积分(C.11)中被积函数正正在积分下限处的行为是 2由此可知, 要想积分(C.11)不才限幂次理当l  可得临界场前提粒子起头落入力心的场强。 这就是焦点场波函数塌缩问题的结论。问题会商到此理当结束, 其余不合适焦点场V r 是负二次幂的吸引势 V r 并且 脚够强正正在小r 值处抵过离心势的 2V rr 和离心势共同决定的焦点场径r方程为 22221r10El l r正正在零点附近的行为是 0rrCr )来求出14。即 112 。 可按照此微分1210pq 2222281021l ll 222222Re22221r212l lCrCl lrr 0r  处, 则正正在此邻域被积函数1l2Re21   , 即2Re81  。代入 , 导致下述不塌缩前提 208222221l (C.12) 由0 二版)》  : 科学出版社2008 年。第 4 章氢原子和三维谐振子求解。 14 用广义幂级数体例求解二阶线性微分方程时涉及方针方程。参见张永德,《量子力学(第 653 天然边前提的会商 15按脚注 14 文献4.3 的分析都已经属于使量子力学理论不能自洽的非物理的会商。 15 这些会商可见脚注 13 文献p. 142-143。